ملخص مفاهيم ونظريات ونتائج الهندسة للصف الثالث ع ف

ملخص مفاهيم ونظريات ونتائج الهندسة للصف الثالث ع ف (2)
نتائج الزوايا والأقواس (1) قياس القوس = قياس الزاوية المركزية المقابلة له
ق ( أ ب ) = ق ( أ جـ ب ) = ق ( أ م بفف ) , ق ( أ ب ) الأكبر = ق ( أ ء ب ) = ق (أ م بفف ) المنعكسة

(2) قياس الدائرة = 360 ْ , قياس نصف الدائرة = 180 ْ , قياس ربع الدائرة = 90 ْ
طول الدائرة = محيط الدائرة = 2 ط نق وحدة طول ، طول نصف الدائرة = ط نق وحدة طول , محيط نصف الدائرة = ط نق + 2 نق وحدة طول
(3) قياس القوسقياس الدائرة = طول القوس طول الدائرة
(4) فى الدائرة الواحدة أو فى الدوائر المتطابقة القوسين المتساويان فى القياس متساويان فى الطول والعكس صحيح
(5)" " " " " " " " " " يقابلهما وتران متساويان فى الطول والعكس صحيح
ق ( أ ب ) = ق ( جـ ء ) K طول ( أ ب ) = طول ( جـ ء ) , ق ( أ ب ) = ق ( جـ ء ) K أ ب = جـ ء
(6) الوترين المتوازيان يحصران بينهما قوسين متساويان فى القياس أ ب // جـ ء G ق ( أ جـ ) = ق ( ب ء )
(7) إذا وازى مماسا للدائرة وترا فى الدائرة فإنهما يحصران بينهما قوسين متساويان فى القياس
أ ء // ب جـ G ق ( أ ب ) = ق ( أ جـ )
نظرية (1)
قياس الزاوية المحيطية يساوى نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها فى قوس واحد
معطى : أ pمحيطية , جـ م ب فف مركزية مشتركتان فى (جـ ب )
مطلوب : ق ( أ p) = 12 ق (جـ م بفف)
البرهان : A م أ = م جـ = نق B ق ( أ p) = ق ( جـ p)
A جـ م بفف خارجة عن مم أ م جـ B ق (جـ م بفف) = ق ( أ p) + ق ( جـ p) = 2 ق ( أ p) B ق ( أ p) = 12 ق (جـ م بفف) #

نتائج نظرية (1) (1) قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل لها. ق ( أ p) = 12 ق ( جـ ب )
(2) الزاوية المحيطية المرسومة فى نصف دائرة قائمة . A أ ب قطر B ق (أ جـ بفف) = 90 ْ والعكس صحيح
تمارين مشهورة (1) إذا كان أ ب ، جـ ء وترين متقاطعين داخل الدائرة فإن ق (أ هـ جـ فف) = 12 ق ( أ جـ ) + 12 ق (ء ب )
(2) إذا كان أ ب ، جـ ء وترين متقاطعين خارج الدائرة فإن ق (أ هـ جـ فف) = 12 ق ( أ جـ ) ـــ 12 ق (ء ب )
نظرية (2) الزوايا المحيطية المشتركة فى قوس واحد متساوية فى القياس
معطى : أ p ، ب p , جـ p زوايا محيطية مشتركة فى هـ ء
مطلوب : ق ( أ p) = ق ( ب p ) = ق ( جـ p )
البرهان : A أ pمحيطية B ق ( أ p) = 12 ق ( ء هـ )
بالمثل ق ( ب p ) = 12 ق ( ء هـ ) , ق ( جـ p ) = 12 ق ( ء هـ ) B ق ( أ p) = ق ( ب p ) = ق ( جـ p ) #
نتيجة : الزوايا المحيطية التى تحصر أقواسا متساوية فى القياس تكون متساوية فى القياس
A ق ( جـ ء ) = ق ( هـ و ) = ق ( ص ع ) B ق ( أ p) = ق ( ب p ) = ق ( س p )
عكس نظرية (2)
إذا كانت الزاويتان المرسومتان على قاعدة واحدة وفى جهة واحدة منها متساويتان فى القياس فإن رأسيهما تقعان على دائرة واحدة وهذه القاعدة وترا فيها
A ق (جـ أ بفف) = ق (جـ ء بفف) وهما مشتركتان فى القاعدة ب جـ وفى جهة واحدة منها B أ , ب ، جـ , ء تقع على دائرة واحدة ويكون الشكل أ ب جـ ء رباعى دائرى
إستنتاج : كل زاويتان مشتركتان فى أحد أضلاعه كقاعدة وفى جهة واحدة منها متساويتان فى القياس بمعنى :
A الشكل أ ب جـ ء رباعى دائرى دائرى B ق ( أ ب ء فف) = ق ( أ جـ ء فف) لإشتراكهما فى القاعدة أ ء
، ق ( جـ أ ء فف ) = ق (جـ ب ء فف) لإشتراكهما فى القاعدة جـ ء , ق ( أ ء ب فف) = ق ( أ جـ ب فف) لإشتراكهما فى القاعدة أ ب
ملاحظة : إذا وجدت زاويتان مرسومتان على قاعدة واحدة وفى جهة واحدة منها وغير متساويتان فى القياس فإن رأسيهما والقاعدة لاتمر بها دائرة واحدة والشكل ليس رباعى دائرى
خواص أخرى للشكل الرباعى الدائرى :
نظرية (3) إذا كان الشكل الرباعى دائرى فإن كل زاويتان متقابلتان فيه متكاملتان
معطى : أ ب جـ ء شكل رباعى دائرى
مطلوب : ق( أ p) + ق( جـ p) = 180 ْ , ق( ب p) + ق( ء p) = 180 ْ
البرهان : A أ pمحيطية B ق ( أ p) = 12 ق (ب جـ ء ) A جـ pمحيطية B ق ( جـ p) = 12 ق (ب أ ء )
Bبالجمع ينتج أن : ق ( أ p) + ق ( جـ p) = 12 ق (ب جـ ء ) + 12 ق (ب أ ء ) = 12 × 360 ْ = 180 ْ
بالمثل ق( ب p) + ق( ء p) = 180 ْ #
نتيجة : قياس الزاوية الخارجة عند أى رأس من رؤس الشكل الرباعى الدائرى تساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها
A أ ب جـ ء رباعى دائرى , أ ب هـفف خارجه عنه B ق ( أ ب هـ فف) = ق ( ء p)
حالات أخرى للرباعى الدائرى :
عكس نظرية (3) يكون الشكل الرباعى دائرى إذا كان فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان
عكس النتيجة : يكون الشكل الرباعى دائرى إذاوجدت زاوية خارجة عند أحد رؤسه قياسها يساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها
ملخص حالات الرباعى الدائرى : يكون الشكل الرباعى دائرى إذا وجدت فيه إحدى الحالات الآتية:
(1) إذا وجدت نقطة ثابتة فى المستوى تبعد عن كل رأس من رؤسه بعدا ثابتا(بمعنى أن رؤسه تقع على دائرة واحدة )
(2) إذا وجدت زاويتان مرسومتان على أحد أضلاعه كقاعدة وفى جهة واحدة منها متساويتان فى القياس
(3) إذا وجدت فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان
(4) إذاوجدت زاوية خارجة عند أحد رؤسه قياسها يساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها
ملاحظة : (1) المربع ، المستطيل , شبه المنحرف المتساوى الساقين أشكال رباعية دائرية (2) متوازى الأضلاع ، المعين , شبه المنخرف أشكال ليست رباعية دائرية

الـتــمــــــا س: نتائج : (1) المماس يكون عموديا على نصف القطر( أو القطر) المرسوم من نقطة التماس
(2) المماسان المرسومان لدائرة من نهايتى قطر فيها متوازيان
نظرية ( 4 ) القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج دائرة لهذه الدائرة متساويتان فى الطول
معطى : أ ب , أ جـ مماستان
مطلوب : أ ب = أ جـ العمل : نرسم م أ , م ب , م جـ
البرهان : A أ ب مماسة , م ب نصف قطر B ق ( ب p ) = 90 ْ بالمثل ق ( جـ p ) = 90 ْ
أ م ضلع مشترك
Aمم مم أ ب م , أ جـ م فيهما م ب = م جـ = نق
ق ( ب p ) = ق ( جـ p ) = 90 ْ
B ينطبق مم مم وينتج أن أ ب = أ جـ #
نتائج نظرية ( 4 ) : (1) أ م محور تماثل ب جـ (2) أ م تنصف أ p , ب م جـ فف
تمرين مشهور :مركز الدائرة الداخلة لأى مثلث هو نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلة
تذكر أن : مركز الدائرة الخارجة لأى مثلث هو نقطة تقاطع محاور تماثل أضلاعه
ملاحظة : إذا كان المثلث متساوى الأضلاع فإن الدائرتين الخارجة والداخلة له متحدتى المركز
الزاوية المماسية : هى حالة خاصة من الزاوية المحيطية وقياسها يساوى نصف قياس القوس المحصور بين ضلعيها
ق (ء أ ب فف) = 12 ق ( أ س ء ) , ق (ء أ جـ فف) = 12 ق ( أ ص ء)
نظرية ( 5) قياس الزاوية المماسية تساوى قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها فى القوس
معطى : أ ب مماس , أ ء وتر
مطلوب : ق ( ء أ بفف) = ( جـ p)
البرهان : A ء أ بفف مماسية B ق (ء أ ب فف) = 12 ق ( أ ء )
A ء جـ أفف محيطية B ق (ء جـ أ فف) = 12 ق ( أ ء ) B ق (ء أ ب فف) = ق ( ء جـ أ فف) #
نتيجة : قياس الزاوية المماسية تساوى نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها فى قوس واحد
عكس نظرية (5) : إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين وتر فى دائرة وشعاع بدايته إحدى نهايتى الوتر يساوى قياس الزاوية المحيطية المنشأة على الوتر من الجهة الأخرى فإن هذا الشعاع يكون مماسا للدائرة
Aق (ء أ ب فف) = ق ( ء جـ أ فف) B أ ب مماس للدائرة
فمثلا : إذا كانت ق ( هـ س ع فف) = ق ( ص p )
فإن س هـ مماس للدائرة المارة بالنقط س, ص , ع